○商功（以御功程積實） 今有穿地，積一萬尺。問為堅、壤各幾何？答曰：為堅七千五百尺；為壤一 萬二千五百尺。

　　術(shù)曰：穿地四為壤五， 〔壤謂息土。〕 為堅三， 〔堅謂筑土。〕 為墟四。

　　〔墟謂穿坑。此皆其常率?！?以穿地求壤，五之；求堅，三之；皆四而一。

　　〔今有術(shù)也。〕 以壤求穿，四之；求堅，三之；皆五而一。以堅求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。

　　〔淳風(fēng)等按：此術(shù)并今有之義也。重張穿地積一萬尺，為所有數(shù)，堅率三、 壤率五各為所求率，穿率四為所有率，而今有之，即得。〕 城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術(shù)。

　　術(shù)曰：并上下廣而半之， 〔損廣補狹。〕 以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。

　　〔按：此術(shù)“并上下廣而半之”者，以盈補虛，得中平之廣?！耙愿呷羯畛?之”，得一頭之立冪?！坝忠再蟪酥闭?，得立實之積，故為積尺。〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，為垣積五百七十六尺。問穿地 下廣幾何？答曰：三尺五分尺之三。

　　術(shù)曰：置垣積尺，四之為實。

　　〔穿地四，為堅三。垣，堅也。以堅求穿地，當(dāng)四之，三而一也?！?以深、袤相乘， 〔為深、袤之立實也?！?又三之，為法。

　　〔以深、袤乘之立實除垣積，即坑廣。又三之者，與堅率并除之。〕 所得，倍之。

　　〔為坑有兩廣，先并而半之，即為廣狹之中平。今先得其中平，故又倍之知， 兩廣全也。〕 減上廣，余即下廣。

　　〔按：此術(shù)穿地四，為堅三。垣即堅也。今以堅求穿地，當(dāng)四乘之，三而一。

　　深、袤相乘者，為深袤立冪。以深袤立冪除積，即坑廣。又三之，為法，與堅率 并除。所得，倍之者，為坑有兩廣，先并而半之，為中平之廣。今此得中平之廣， 故倍之還為兩廣并。故減上廣，余即下廣也?！?今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問積幾何？答 曰：一百八十九萬七千五百尺： 今有垣下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。問積幾何？ 答曰：六千七百七十四尺。

　　今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問積幾何？答曰： 七千一百一十二尺。

　　冬程人功四百四十四尺，問用徒幾何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。

　　術(shù)曰：以積尺為實，程功尺數(shù)為法，實如法而一，即用徒人數(shù)。

　　今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。問積幾何？答曰：四 千三百七十五尺。

　　春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。

　　問用徒幾何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

　　術(shù)曰：置本人功，去其五分之一，余為法。

　　〔“去其五分之一”者，謂以四乘，五除也?！?以溝積尺為實，實如法而一，得用徒人數(shù)。

　　〔按：此術(shù)“置本人功，去其五分之一”者，謂以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。乃通分內(nèi)子以為法。以分母乘溝積尺為實者，法里有分，實 里通之，故實如法而一，即用徒人數(shù)。此以一人之積尺除其眾尺，故用徒人數(shù)。

　　不盡者，等數(shù)約之而命分也?！?今有塹，上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。

　　問積幾何？答曰：一萬九百四十三尺八寸。

　　〔八寸者，謂穿地方尺，深八寸。此積余有方尺中二分四厘五毫，棄之。文 欲從易，非其常定也?！?夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙礫水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。問用徒幾何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。

　　術(shù)曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，余為法。

　　以塹積尺為實。實如法而一，即用徒人數(shù)。

　　〔按：此術(shù)“置本人功，去其出土功五分之一”者，謂以四乘，五除?！坝?去沙礫水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分內(nèi)子以為法。

　　以分母乘塹積尺為實者，為法里有分，實里通之，故實如法而一，即用徒人數(shù)。

　　不盡者，等數(shù)約之而命分也?！?今有穿渠，上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬一千八百二 十四尺。問積幾何？答曰：一千七萬四千五百八十五尺六寸。

　　秋程人功三百尺，問用徒幾何？答曰：三萬三千五百八十二人，功內(nèi)少一十 四尺四寸。

　　一千人先到，問當(dāng)受袤幾何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

　　術(shù)曰：以一人功尺數(shù)乘先到人數(shù)為實。

　　〔以一千人一日功為實。立實為功。〕 并渠上下廣而半之，以深乘之，為法。

　　〔以渠廣深之立實為法?！?實如法得袤尺。

　　今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，謂以土擁木也?！?方一丈六尺，高一丈五尺。問積幾何？答曰：三千八百四十尺。

　　術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。

　　今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。問積幾何？答曰：二千一百一十二 尺。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

　　淳風(fēng)等按：依密率，積二千一十六尺?！?術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

　　〔此章諸術(shù)亦以周三徑一為率，皆非也。于徽術(shù)當(dāng)以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田，而 以高乘冪也。

　　淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，八十八而一?！?今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。問積幾何？答曰：一十萬一千六 百六十六尺太半尺。

　　術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

　　〔此章有塹堵、陽馬，皆合而成立方。蓋說算者乃立棋三品，以效高深之積。

　　假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面塹堵四， 四角陽馬四。上下方相乘為三尺，以高乘之，得積三尺，是為得中央立方一，四 面塹堵各一。下方自乘為九，以高乘之，得積九尺。是為中央立方一、四面塹堵 各二、四角陽馬各三也。上方自乘，以高乘之，得積一尺，又為中央立方一。凡 三品棋皆一而為三，故三而一，得積尺。用棋之?dāng)?shù)：立方三、塹堵陽馬各十二， 凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，驗矣。為術(shù)又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四陽馬也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面塹堵 也。并之，以為方亭積數(shù)也?！?今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。問積幾何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為積五百三尺三十三分尺之二十六?！?術(shù)曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

　　〔此術(shù)周三徑一之義。合以三除上下周，各為上下徑。以相乘，又各自乘， 并，以高乘之，三而一，為方亭之積。假令三約上下周俱不盡，還通之，即各為 上下徑。令上下徑相乘，又各自乘，并，以高乘之，為三方亭之積分。此合分母 三相乘得九，為法，除之。又三而一，得方亭之積。從方亭求圓亭之積，亦猶方 冪中求圓冪。乃令圓率三乘之，方率四而一，得圓亭之積。前求方亭之積，乃以 三而一；今求圓亭之積，亦合三乘之。二母既同，故相準(zhǔn)折，惟以方冪四乘分母 九，得三十六，而連除之。于徽術(shù)，當(dāng)上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之， 又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圓殺，比于方亭，二百分之一百五 十七。為術(shù)之意，先作方亭，三而一。則此據(jù)上下徑為之者，當(dāng)又以一百五十七 乘之，六百而一也。今據(jù)周為之，若于圓堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而 一，則先得三圓亭矣。故以三百一十四為九百四十二而一，并除之。

　　淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一?！?今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺。問積幾何？答曰：七千四十七尺。

　　術(shù)曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

　　〔按：此術(shù)假令方錐下方二尺，高一尺，即四陽馬。如術(shù)為之，用十二陽馬 成三方錐。故三而一，得方錐也?！?今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺。問積幾何？答曰：一千七百三十五 尺一十二分尺之五。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七?！?術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

　　〔按：此術(shù)圓錐下周以為方錐下方。方錐下方令自乘，以高乘之，令三而一， 得大方錐之積。大錐方之積合十二圓矣。今求一圓，復(fù)合十二除之，故令三乘十 二，得三十六，而連除。于徽術(shù)，當(dāng)下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九 百四十二而一。圓錐比于方錐亦二百分之一百五十七。令徑自乘者，亦當(dāng)以一百 五十七乘之，六百而一。其說如圓亭也。

　　淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一?！?今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。問積幾何？答曰：四 萬六千五百尺。

　　術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。

　　〔邪解立方，得兩塹堵。雖復(fù)橢方，亦為塹堵。故二而一。此則合所規(guī)棋。

　　推其物體，蓋為塹上疊也。其形如城，而無上廣，與所規(guī)棋形異而同實。未聞所 以名之為塹堵之說也?！?今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？答曰：九十三尺少半尺。

　　術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。

　　〔按：此術(shù)陽馬之形，方錐一隅也。今謂四柱屋隅為陽馬。假令廣袤各一尺， 高一尺，相乘，得立方積一尺。邪解立方，得兩塹堵；邪解塹堵，其一為陽馬， 一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬而 成一立方，故三而一。驗之以棋，其形露矣。悉割陽馬，凡為六鱉臑。觀其割分， 則體勢互通，蓋易了也。其棋或修短、或廣狹、立方不等者，亦割分以為六鱉臑。

　　其形不悉相似。然見數(shù)同，積實均也。鱉臑殊形，陽馬異體。然陽馬異體，則不 純合。不純合，則難為之矣。何則？按：邪解方棋以為塹堵者，必當(dāng)以半為分； 邪解塹堵以為陽馬者，亦必當(dāng)以半為分，一從一橫耳。設(shè)以陽馬為分內(nèi)，鱉臑為 分外。棋雖或隨修短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已。

　　其使鱉臑廣、袤、高各二尺，用塹堵、鱉臑之棋各二，皆用赤棋。又使陽馬之廣、 袤、高各二尺，用立方之棋一，塹堵、陽馬之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑， 接為塹堵，廣、袤、高各二尺。于是中攽其廣、袤，又中分其高。令赤、黑塹堵 各自適當(dāng)一方，高一尺，方一尺，每二分鱉臑，則一陽馬也。其余兩端各積本體， 合成一方焉。是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一。雖方隨棋改，而固 有常然之勢也。按：余數(shù)具而可知者有一、二分之別，則一、二之為率定矣。其 于理也豈虛矣。若為數(shù)而窮之，置余廣、袤、高之?dāng)?shù)，各半之，則四分之三又可 知也。半之彌少，其余彌細，至細曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？數(shù)而 求窮之者，謂以情推，不用籌算。鱉臑之物，不同器用；陽馬之形，或隨修短廣 狹。然不有鱉臑，無以審陽馬之?dāng)?shù)，不有陽馬，無以知錐亭之?dāng)?shù)，功實之主也?！?今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺。問積幾何？答曰： 二十三尺少半尺。

　　術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。

　　〔按：此術(shù)臑者，臂節(jié)也。或曰：半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云。中破 陽馬，得兩鱉臑。鱉臑之見數(shù)即陽馬之半數(shù)。數(shù)同而實據(jù)半，故云六而一，即得?！?今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺；末廣八尺，無深；袤七尺。問積 幾何？答曰：八十四尺。

　　術(shù)曰：并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

　　〔按：此術(shù)羨除，實隧道也。其所穿地，上平下邪，似兩鱉臑夾一塹堵，即 羨除之形。假令用此棋：上廣三尺，深一尺，下廣一尺；末廣一尺，無深；袤一 尺。下廣、末廣皆塹堵之廣。上廣者，兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。以深、袤乘， 得積五尺。鱉臑居二，塹堵居三，其于本棋皆一為六，故六而一。合四陽馬以為 方錐。邪畫方錐之底，亦令為中方。就中方削而上合，全為中方錐之半。于是陽 馬之棋悉中解矣。中錐離而為四鱉臑焉。故外錐之半亦為四鱉臑。雖背正異形， 與常所謂鱉臑參不相似，實則同也。所云夾塹堵者，中錐之鱉臑也。凡塹堵上袤 短者，連陽馬也。下袤短者，與鱉臑連也。上、下兩袤相等知，亦與鱉臑連也。

　　并三廣，以高、袤乘，六而一，皆其積也。今此羨除之廣即塹堵之袤也。按： 此本是三廣不等，即與鱉臑連者。別而言之：中央塹堵廣六尺，高三尺，袤七尺。

　　末廣之兩旁，各一小鱉臑，皆與塹堵等。令小鱉臑居里，大鱉臑居表，則大鱉臑 皆出橢方錐：下廣二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，則為袤三尺。以高、廣乘 之，三而一，即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉臑。求其積，亦當(dāng)六而一，合 于常率矣。按：陽馬之棋兩邪，棋底方。當(dāng)其方也，不問旁角而割之，相半可知 也。推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實。角而割之者，相半之勢。此大小鱉 臑可知更相表里，但體有背正也。〕 今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。問積幾何？答曰： 五千尺。

　　術(shù)曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。

　　〔推明義理者：舊說云：“凡積芻有上下廣曰童，甍，謂其屋蓋之苫也?！?是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也。假令 下廣二尺，袤三尺；上袤一尺，無廣；高一尺。其用棋也，中央塹堵二，兩端陽 馬各二。倍下袤，上袤從之，為七尺。以下廣乘之，得冪十四尺。陽馬之冪各居 二，塹堵之冪各居三。以高乘之，得積十四尺。其于本棋也，皆一而為六。故六 而一，即得。亦可令上下袤差乘廣，以高乘之，三而一，即四陽馬也；下廣乘上 袤而半之，高乘之，即二塹堵；并之，以為甍積也?！?芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術(shù)。

　　術(shù)曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之，并，以高 若深乘之，皆六而一。

　　〔按：此術(shù)假令芻童上廣一尺，袤二尺；下廣三尺，袤四尺；高一尺。其用 棋也，中央立方二，四面塹堵六，四角陽馬四。倍下袤為八，上袤從之，為十， 以高、廣乘之，得積三十尺。是為得中央立方各三，兩端塹堵各四，兩旁塹堵各 六，四角陽馬亦各六。復(fù)倍上袤，下袤從之，為八，以高、廣乘之，得積八尺。

　　是為得中央立方亦各三，兩端塹堵各二。并兩旁，三品棋皆一而為六。故六而一， 即得。為術(shù)又可令上下廣袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽馬；上下廣袤 互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六塹堵與二立方；并之，為芻童積。又 可令上下廣袤互相乘而半之，上下廣袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得 也。〕 其曲池者，并上中、外周而半之，以為上袤；亦并下中、外周而半之，以為 下袤。

　　〔此池環(huán)而不通匝，形如盤蛇，而曲之。亦云周者，謂如委谷依垣之周耳。

　　引而伸之，周為袤。求袤之意，環(huán)田也?！?今有芻童，下廣二丈，袤三丈；上廣三丈，袤四丈；高三丈。問積幾何？答 曰：二萬六千五百尺。

　　今有曲池，上中周二丈，外周四丈，廣一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四 尺，廣五尺；深一丈。問積幾何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。

　　今有盤池，上廣六丈，袤八丈；下廣四丈，袤六丈，深二丈。問積幾何？答 曰：七萬六百六十六尺太半尺。

　　負土往來七十步，其二十步上下棚除，棚除二當(dāng)平道五；踟躕之間十加一； 載輸之間三十步，定一返一百四十步。土籠積一尺六寸。秋程人功行五十九里半。

　　問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三 分人之六十二。

　　術(shù)曰：以一籠積尺乘程行步數(shù)，為實。往來上下棚除二當(dāng)平道五。

　　〔棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當(dāng)五也?！?置定往來步數(shù)，十加一，及載輸之間三十步，以為法。除之，所得即一人所 到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。

　　〔按：此術(shù)棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當(dāng)五。置定往來步數(shù)， 十加一，及載輸之間三十步，是為往來一返凡用一百四十步。于今有術(shù)為所有率， 籠積一尺六寸為所求率，程行五十九里半為所有數(shù)，而今有之，即所到尺數(shù)。以 所到約積尺，即用徒人數(shù)者，此一人之積除其眾積尺，故得用徒人數(shù)。為術(shù)又 可令往來一返所用之步約程行為返數(shù)，乘籠積為一人所到。以此術(shù)與今有術(shù)相 反覆，則乘除之或先后，意各有所在而同歸耳?！?今有冥谷，上廣二丈，袤七丈；下廣八尺，袤四丈；深六丈五尺。問積幾何？ 答曰：五萬二千尺。

　　載土往來二百步，載輸之間一里。程行五十八里；六人共車，車載三十四尺 七寸。問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二 百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。

　　術(shù)曰：以一車積尺乘程行步數(shù)，為實。置今往來步數(shù)，加載輸之間一里，以 車六人乘之，為法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。

　　〔按：此術(shù)今有之義。以載輸及往來并得五百步，為所有率，車載三十四尺 七寸為所求率，程行五十八里，通之為步，為所有數(shù)，而今有之，所得即一車所 到。欲得人到者，當(dāng)以六人除之，即得。術(shù)有分，故亦更令乘法而并除者，亦用 以車尺數(shù)以為一人到土率，六人乘五百步為行率也。又亦可五百步為行率，令六 人約車積尺數(shù)為一人到土率，以負土術(shù)入之。入之者，亦可求返數(shù)也。要取其會 通而已。術(shù)恐有分，故令乘法而并除。以所到約積尺，即用徒人數(shù)者，以一人所 到積尺除其眾積，故得用徒人數(shù)也。〕 今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。問積及為粟幾何？答曰：積八千尺。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為積七千六百三十六尺十一分尺之四?！?為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八?！?今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。問積及為菽各幾何？答曰：積三百五十 尺。

　　〔依徽術(shù)，當(dāng)積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為積三百三十四尺十一分尺之一?！?為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

　　〔依徽術(shù)，當(dāng)菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問積及為米各幾何？答曰：積三十 五尺九分尺之五。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。

　　淳風(fēng)等按：依密率，當(dāng)積三十三尺三十三分尺之三十一?！?為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十?！?委粟術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

　　〔此猶圓錐也。于徽術(shù)，亦當(dāng)下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百 四十二而一也。〕 其依垣者， 〔居圓錐之半也。〕 十八而一。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。

　　依垣之周，半于全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一，故半全周之法以為 法也。〕 其依垣內(nèi)角者， 〔角，隅也，居圓錐四分之一也。〕 九而一。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七 十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一，當(dāng)半依 垣之法以為法。法不可半，故倍其實。又此術(shù)亦用周三徑一之率。假令以三除周， 得徑；若不盡，通分內(nèi)子，即為徑之積分。令自乘，以高乘之，為三方錐之積分。

　　母自相乘得九，為法，又當(dāng)三而一，得方錐之積。從方錐中求圓錐之積，亦猶方 冪求圓冪。乃當(dāng)三乘之，四而一，得圓錐之積。前求方錐積，乃以三而一；今求 圓錐之積，復(fù)合三乘之。二母既同，故相準(zhǔn)折。惟以四乘分母九，得三十六而連 除，圓錐之積。其圓錐之積與平地聚粟同，故三十六而一。

　　淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百 三十二而一；依隅者，六十六而一也?！?程粟一斛積二尺七寸； 〔二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸?！?其米一斛積一尺六寸五分寸之一； 〔謂積一千六百二十寸?！?其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。

　　〔謂積二千四百三十寸。此為以精粗為率，而不等其概也。粟率五，米率三， 故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麥亦如本率云。故謂此三量器為概， 而皆不合于今斛。當(dāng)今大司農(nóng)斛，圓徑一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽術(shù)， 為積一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽銅斛于今尺為深九寸 五分五厘，徑一尺三寸六分八厘七毫。以徽術(shù)計之，于今斛為容九斗七升四合有 奇?！吨芄佟た脊び洝罚簴A氏為量，深一尺，內(nèi)方一尺而圓外，其實一釜。于徽 術(shù)，此圓積一千五百七十寸?！蹲笫蟼鳌吩唬骸褒R舊四量：豆、區(qū)、釜、鐘。四 升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十則鐘?！辩娏亩贰８匪纳?，方一尺， 深一尺，其積一千寸。若此方積容六斗四升，則通外圓積成旁，容十斗四合一龠 五分龠之三也。以數(shù)相乘之，則斛之制：方一尺而圓其外，庣旁一厘七毫，冪一 百五十六寸四分寸之一，深一尺，積一千五百六十二寸半，容十斗。王莽銅斛與 《漢書·律歷志》所論斛同?！?今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛。問高幾何？答曰：二丈。

　　術(shù)曰：置粟一萬斛積尺為實。廣、袤相乘為法。實如法而一，得高尺。

　　〔以廣袤之冪除積，故得高。按：此術(shù)本以廣袤相乘，以高乘之，得此積。

　　今還元，置此廣袤相乘為法，除之，故得高也?！?今有圓囷， 〔圓囷，廩也，亦云圓囤也?！?高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。問周幾何？答曰：五丈四尺。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)周五丈五尺二寸二十分寸之九。

　　淳風(fēng)等按：依密率，為周五丈五尺一百分尺之二十七?！?術(shù)曰：置米積尺， 〔此積猶圓堡昪之積?！?以十二乘之，令高而一。所得，開方除之，即周。

　　〔于徽術(shù)，當(dāng)置米積尺，以三百一十四乘之，為實。二十五乘囷高為法。所 得，開方除之，即周也。此亦據(jù)見冪以求周，失之于微少也。晉武庫中有漢時王 莽所作銅斛，其篆書字題斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圓其外，庣旁九厘五毫， 冪一百六十二寸；深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗， 方尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一尺六寸二分。深一寸，積一百六十二寸，容 一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有贊文，與今律歷志同， 亦魏晉所常用。今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分?jǐn)?shù)，然不盡得升、合、勺之文 字。按：此術(shù)本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此積。今還元，置此積，以 十二乘之，令高而一，即復(fù)本周自乘之?dāng)?shù)。凡物自乘，開方除之，復(fù)其本數(shù)。故 開方除之，即得也。

　　淳風(fēng)等按：依密率，以八十八乘之，為實。七乘囷高為法。實如法而一。開 方除之，即周也。〕