○方田（以御田疇界域） 今有田廣十五步，從十六步。問(wèn)為田幾何？答曰：一畝。
又有田廣十二步，從十四步。問(wèn)為田幾何？答曰：一百六十八步。
〔圖：從十四，廣十二。〕 方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步。
〔此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。
淳風(fēng)等按：經(jīng)云廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之冪。觀斯注意，積冪義 同。以理推之，固當(dāng)不爾。何則？?jī)缡欠矫鎲尾贾?，積乃眾數(shù)聚居之稱(chēng)。循名 責(zé)實(shí)，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言?xún)缯邠?jù)廣從之一方；其言積者 舉眾步之都數(shù)。經(jīng)云相乘得積步，即是都數(shù)之明文。注云謂之為冪，全乖積步之 本意。此注前云積為田冪，于理得通。復(fù)云謂之為冪，繁而不當(dāng)。今者注釋?zhuān)?善去非，略為料簡(jiǎn)，遺諸后學(xué)?！?以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。
〔淳風(fēng)等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。余術(shù)不復(fù)言者，從此可知。一 畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而 截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方， 凡有二百四十步。一畝之地，步數(shù)正同。以此言之，則廣從相乘得積步，驗(yàn)矣。
二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得?！?今有田廣一里，從一里。問(wèn)為田幾何？答曰：三頃七十五畝。
又有田廣二里，從三里。問(wèn)為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。
里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。
〔按：此術(shù)廣從里數(shù)相乘得積里。方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即 得畝數(shù)也?！?今有十八分之十二，問(wèn)約之得幾何？答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，問(wèn)約之得幾何？答曰：十三分之七。
○約分 〔按：約分者，物之?dāng)?shù)量，不可悉全，必以分言之；分之為數(shù)，繁則難用。
設(shè)有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則 異辭，至于為數(shù)，亦同歸爾。法實(shí)相推，動(dòng)有參差，故為術(shù)者先治諸分?！?術(shù)曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損， 求其等也。以等數(shù)約之。
〔等數(shù)約之，即除也。其所以相減者，皆等數(shù)之重疊，故以等數(shù)約之。〕 今有三分之一，五分之二，問(wèn)合之得幾何？答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，問(wèn)合之得幾何？答曰：得一、六十三 分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問(wèn)合之得幾何？答曰：得 二、六十分之四十三。
○合分 〔淳風(fēng)等按：合分知，數(shù)非一端，分無(wú)定準(zhǔn)，諸分子雜互，群母參差。粗細(xì) 既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相并，故曰合分?！?術(shù)曰：母互乘子，并以為實(shí)。母相乘為法。
〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細(xì)。雖則粗細(xì)有殊， 然其實(shí)一也。眾分錯(cuò)雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母 互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊， 勢(shì)不可失本數(shù)也。方以類(lèi)聚，物以群分。數(shù)同類(lèi)者無(wú)遠(yuǎn)；數(shù)異類(lèi)者無(wú)近。遠(yuǎn)而通 體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之術(shù)要矣：錯(cuò) 綜度數(shù)，動(dòng)之斯諧，其猶佩觿解結(jié)，無(wú)往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同 以通之，此其算之綱紀(jì)乎？其一術(shù)者，可令母除為率，率乘子為齊?！?實(shí)如法而一。不滿(mǎn)法者，以法命之。
〔今欲求其實(shí)，故齊其子，又同其母，令如母而一。其余以等數(shù)約之，即得 知，所謂同法為母，實(shí)余為子，皆從此例?！?其母同者，直相從之。
今有九分之八，減其五分之一，問(wèn)余幾何？答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，減其三分之一，問(wèn)余幾何？答曰：十二分之五。
○減分 〔淳風(fēng)等按：諸分子、母數(shù)各不同，以少減多，欲知余幾，減余為實(shí)，故曰 減分?！?術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實(shí)。母相乘為法。實(shí)如法而一。
〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘為法者， 同其母也。母同子齊，故如母而一，即得?！?今有八分之五，二十五分之十六，問(wèn)孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，問(wèn)孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，問(wèn)孰多？多幾何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。
○課分 〔淳風(fēng)等按：分各異名，理不齊一，較其相近之?dāng)?shù)，故曰課分也?！?術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實(shí)。母相乘為法。實(shí)如法而一，即相多也。
〔淳風(fēng)等按：此術(shù)母互乘子，以少分減多分，與減分義同；惟相多之?dāng)?shù)，意 與減分有異：減分知，求其余數(shù)有幾；課分知，以其余數(shù)相多也?！?今有三分之一，三分之二，四分之三。問(wèn)減多益少，各幾何而平？答曰：減 四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。問(wèn)減多益少，各幾何而平？答曰：減 三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
○平分 〔淳風(fēng)等按：平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平 分也。〕 術(shù)曰：母互乘子， 〔齊其子也。〕 副并為平實(shí)。
〔淳風(fēng)等按：母互乘子，副并為平實(shí)知，定此平實(shí)主限，眾子所當(dāng)損益知， 限為平。〕 母相乘為法。
〔母相乘為法知，亦齊其子，又同其母?！?以列數(shù)乘未并者各自為列實(shí)。亦以列數(shù)乘法。
〔此當(dāng)副置列數(shù)除平實(shí)，若然則重有分，故反以列數(shù)乘同齊。
淳風(fēng)等按：?jiǎn)栐扑街侄嗌俨欢?，或三或二，列位無(wú)常。平三知，置位三 重；平二知，置位二重。凡此之例，一準(zhǔn)平分不可豫定多少，故直云列數(shù)而已?！?以平實(shí)減列實(shí)，余，約之為所減。并所減以益于少。以法命平實(shí)，各得其平。
今有七人，分八錢(qián)三分錢(qián)之一。問(wèn)人得幾何？答曰：人得一錢(qián)二十一分錢(qián)之 四。
又有三人三分人之一，分六錢(qián)三分錢(qián)之一、四分錢(qián)之三。問(wèn)人得幾何？答曰： 人得二錢(qián)八分錢(qián)之一。
○經(jīng)分 〔淳風(fēng)等按：經(jīng)分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以 人數(shù)分所分，故曰經(jīng)分也?！?術(shù)曰：以人數(shù)為法，錢(qián)數(shù)為實(shí)，實(shí)如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全內(nèi)子。
乘，散全則為積分，積分則與子相通，故可令相從。凡數(shù)相與者謂之率。率知， 自相與通。有分則可散，分重疊則約也；等除法實(shí)，相與率也。故散分者，必令 兩分母相乘法實(shí)也。〕 重有分者同而通之。
〔又以法分母乘實(shí)，實(shí)分母乘法。此謂法、實(shí)俱有分，故令分母各乘全分內(nèi) 子，又令分母互乘上下?！?今有田廣七分步之四，從五分步之三，問(wèn)為田幾何？答曰：三十五分步之十 二。
又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問(wèn)為田幾何？答曰：十一分步之七。
又有田廣五分步之四，從九分步之五，問(wèn)為田幾何？答曰：九分步之四。
○乘分 〔淳風(fēng)等按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實(shí)，故曰乘分?！?術(shù)曰：母相乘為法，子相乘為實(shí)，實(shí)如法而一。
〔凡實(shí)不滿(mǎn)法者而有母、子之名。若有分，以乘其實(shí)而長(zhǎng)之，則亦滿(mǎn)法，乃 為全耳。又以子有所乘，故母當(dāng)報(bào)除。報(bào)除者，實(shí)如法而一也。今子相乘則母各 當(dāng)報(bào)除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難以廣諭。設(shè)有問(wèn)者曰：馬二十 匹，直金十二斤。今賣(mài)馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？答曰：三十五分斤 之十二。其為之也，當(dāng)如經(jīng)分術(shù)，以十二斤金為實(shí)，三十五人為法。設(shè)更言馬五 匹，直金三斤。今賣(mài)馬四匹，七人分之，人得幾何？答曰：人得三十五分斤之十 二。其為之也，當(dāng)齊其金、人之?dāng)?shù)，皆合初問(wèn)入于經(jīng)分矣。然則分子相乘為實(shí)者， 猶齊其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無(wú)事于同，但欲求 齊而已。又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分斤之 三。七人賣(mài)四馬，一人賣(mài)七分馬之四。金與人交 互相生。所從言之異，而計(jì)數(shù)則 三術(shù)同歸也。〕 今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問(wèn)為田幾何？答曰：十八步。
又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問(wèn)為田幾何？答曰：一百 二十步九分步之五。
又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問(wèn)為田幾何？答曰： 一畝二百步十一分步之七。
○大廣田 〔淳風(fēng)等按：大廣田知，初術(shù)直有全步而無(wú)余分；次術(shù)空有余分而無(wú)全步； 此術(shù)先見(jiàn)全步，復(fù)有余分，可以廣兼三術(shù)，故曰大廣?！?術(shù)曰：分母各乘其全，分子從之， 〔分母各乘其全，分子從之者，通全步內(nèi)分子。如此則母、子皆為實(shí)矣。〕 相乘為實(shí)。分母相乘為法。
〔猶乘分也?！?實(shí)如法而一。
〔今為術(shù)廣從俱有分，當(dāng)各自通其分。命母入者，還須出之，故令分母相乘 為法而連除之?！?今有圭田廣十二步，正從二十一步，問(wèn)為田幾何？答曰：一百二十六步。
又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二，問(wèn)為田幾何？答曰：二十 三步六分步之五。
術(shù)曰：半廣以乘正從。
〔半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按：半廣乘從，以取中 平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也?！?今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問(wèn)為田幾何？ 答曰：九畝一百四十四步。
又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問(wèn)為田幾何？ 答曰：二十三畝七十步。
術(shù)曰：并兩斜而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。畝法而一。
〔并而半之者，以盈補(bǔ)虛也?！?今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問(wèn)為田幾何？答曰：一畝 一百三十五步。
又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步，問(wèn)為田幾 何？答曰：四十六畝二百三十二步半。
術(shù)曰：并踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一。
〔中分箕田則為兩邪田，故其術(shù)相似。又可并踵、舌，半正從，以乘之?！?今有圓田，周三十步，徑十步。
〔淳風(fēng)等按：術(shù)意以周三徑一為率，周三十步，合徑十步。今依密率，合徑 九步十一分步之六?！?問(wèn)為田幾何？答曰：七十五步。
〔此于徽術(shù)，當(dāng)為田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳風(fēng)等按：依密率，為田七十一步二十三分步之一十三?！?又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。
〔淳風(fēng)等按：周三徑一，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。依密率， 徑五十七步二十二分步之一十三。〕 問(wèn)為田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。
〔此于徽術(shù)，當(dāng)為田十畝二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳風(fēng)等按：依密率，當(dāng)為田十畝二百五步八十八分步之八十七?！?術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。
〔按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容 六觚之一面，與圓徑之半，其數(shù)均等。合徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌 少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。觚面之外，又有余徑。
以面乘余徑，則冪出觚表。若夫觚之細(xì)者，與圓合體，則表無(wú)余徑。表無(wú)余徑， 則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。
此一周、徑，謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環(huán)耳。以推 圓規(guī)多少之覺(jué)，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核；學(xué)者踵古，習(xí) 其謬失。
不有明據(jù)，辯之斯難。凡物類(lèi)形象，不圓則方。方圓之率，誠(chéng)著于近，則雖遠(yuǎn)可 知也。由此言之，其用博矣。謹(jǐn)按圖驗(yàn)，更造密率?？挚赵O(shè)法，數(shù)昧而難譬，故 置諸檢括，謹(jǐn)詳其記注焉。
割六觚以為十二觚術(shù)曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓里觚之面也。令 半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句冪二十五寸減弦冪，余七十五寸， 開(kāi)方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數(shù)。微數(shù)無(wú)名知以為分子，以十為分 母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以減半徑，余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之 求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬(wàn)三千四百四十五忽，余分棄之。
開(kāi)方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上 小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬(wàn)八千三百六十一忽，余分棄之， 即句冪也。以減弦冪，其余開(kāi)方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以減半徑，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小 股。為之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬(wàn)九千四百六十六忽，余分 棄之。開(kāi)方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上 小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬(wàn)七千三百六十六忽，余分棄之，即 句冪也。以減弦冪，其余，開(kāi)方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以減半徑，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小 股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬(wàn)八千八百一十三忽，余分棄之。
開(kāi)方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分棄之，即四十八觚之一面。以半徑一 尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬(wàn)一千三百九十三億四千四百萬(wàn)忽。以百億除 之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。
割四十八觚以為九十六觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次 上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬(wàn)九千七百三忽，余分棄之，即句 冪也。以減弦冪，其余，開(kāi)方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以減半徑，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬(wàn)四千一十二忽，余分棄之。開(kāi)方除 之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺 乘之，又以四十八乘之，得冪三萬(wàn)一千四百一十億二千四百萬(wàn)忽，以百億除之， 得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。以九十六 觚之冪減之，余六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。倍之，為分寸之二百一十， 即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪于九十六觚之冪， 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之表矣。故還就一百九十 二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其余分。以半徑一尺除圓冪，倍之， 得六尺二寸八分，即周數(shù)。令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五 十七為率，方冪得二百為率。方冪二百其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。
案：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內(nèi)方合外方之半。然則圓冪一百五十七，其 中容方冪一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五 十，則其相與之率也。周率猶為微少也。晉武庫(kù)中漢時(shí)王莽作銅斛，其銘曰：律 嘉量斛，內(nèi)方尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六 百二十寸，容十斗。以此術(shù)求之，得冪一百六十一寸有奇，其數(shù)相近矣。此術(shù)微 少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之冪為率消息，當(dāng)取此 分寸之三十六，以增于一百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸 之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得 五千，是為率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方 冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺 二寸八分二十五分分之八，即周數(shù)也。全徑二尺與周數(shù)通相約，徑得一千二百五 十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之， 上法仍約耳。當(dāng)求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分， 數(shù)亦宜然，重其驗(yàn)耳。
淳風(fēng)等案：舊術(shù)求圓，皆以周三徑一為率。若用之求圓周之?dāng)?shù)，則周少?gòu)蕉唷?/p>
用之求其六觚之田，乃與此率合會(huì)耳。何則？假令六觚之田，觚間各一尺為面， 自然從角至角，其徑二尺可知。此則周六徑二與周三徑一已合。恐此猶為難曉， 今更引物為喻。設(shè)令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆長(zhǎng)一尺。攢此六物，悉使 銳頭向里，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規(guī)，則六觚之 徑盡達(dá)規(guī)矣。當(dāng)面徑短，不至外規(guī)。若以徑言之，則為規(guī)六尺，徑二尺，面徑皆 一尺。面徑股不至外畔，定無(wú)二尺可知。故周三徑一之率于圓周乃是徑多周少。
徑一周三，理非精密。蓋術(shù)從簡(jiǎn)要，舉大綱，略而言之。劉徽特以為疏，遂改張 其率。但周、徑相乘，數(shù)難契合?；针m出斯二法，終不能究其纖毫也。祖沖之以 其不精，就中更推其數(shù)。今者修撰，捃摭諸家，考其是非，沖之為密。故顯之于 徽術(shù)之下，冀學(xué)者知所裁焉?！?又術(shù)曰：周、徑相乘，四而一。
〔此周與上觚同耳。周、徑相乘，各當(dāng)一半。而今周、徑兩全，故兩母相乘 為四，以報(bào)除之。于徽術(shù)，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。以一百五十 七乘徑，五十而一，即周也。新術(shù)徑率猶當(dāng)微少。據(jù)周以求徑，則失之長(zhǎng)；據(jù)徑 以求周，則失之短。諸據(jù)見(jiàn)徑以求冪者，皆失之于微少；據(jù)周以求冪者，皆失之 于微多。
淳風(fēng)等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑；以二十二乘徑，七而一， 即周。依術(shù)求之，即得?！?又術(shù)曰：徑自相乘，三之，四而一。
〔按：圓徑自乘為外方，三之，四而一者，是為圓居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半徑，其冪即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是為圓里十二觚之冪耳。取以為圓，失之于微少。于徽新術(shù)，當(dāng)徑自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。
淳風(fēng)等按：密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓冪也。〕 又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圓徑，三與一也。故六觚之周自相乘為冪，若圓徑自乘者 九方。九方凡為十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之冪也。今此令周自 乘，非但若為圓徑自乘者九方而已。然則十二而一，所得又非十二觚之冪也。若 欲以為圓冪，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新術(shù)，直令圓周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓冪。其率：二十五者，周冪也；三 百一十四者，周自乘之冪也。置周數(shù)六尺二寸八分，令自乘，得冪三十九萬(wàn)四千 三百八十四分。又置圓冪三萬(wàn)一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率。
淳風(fēng)等按：方面自乘即得其積。圓周求其冪，假率乃通。但此術(shù)所求用三、 一為率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘，故須以十二為母。何 者？據(jù)全周而求半周，則須以二為法。就全周而求半徑，復(fù)假六以除之。是二、 六相乘，除周自乘之?dāng)?shù)。依密率，以七乘之，八十八而一?！?今有宛田，下周三十步，徑十六步。問(wèn)為田幾何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問(wèn)為田幾何？答曰：五畝六十二步 四分步之一。
術(shù)曰：以徑乘周，四而一。
〔此術(shù)不驗(yàn)，故推方錐以見(jiàn)其形。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺為股， 下方之半三尺為句。正面邪為弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方錐四面見(jiàn)者之冪。若令其中容圓錐，圓錐見(jiàn)冪與方錐見(jiàn)冪，其率猶方冪之與 圓冪也。按：方錐下六尺，則方周二十四尺。以五尺乘而半之，則亦錐之見(jiàn)冪。
故求圓錐之?dāng)?shù)，折徑以乘下周之半，即圓錐之冪也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐 同術(shù)，則冪失之于少矣。然其術(shù)難用，故略舉大較，施之大廣田也。求圓錐之冪， 猶求圓田之冪也。今用兩全相乘，故以四為法，除之，亦如圓田矣。開(kāi)立圓術(shù)說(shuō) 圓方諸率甚備，可以驗(yàn)此?！?今有弧田，弦二十步，矢十五步。問(wèn)為田幾何？答曰：一畝九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問(wèn)為田幾何？答 曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔方中之圓，圓里十二觚之冪，合外方之冪四分之三也。中方合外方之半， 則朱青合外方四分之一也?；√?，半圓之冪也。故依半圓之體而為之術(shù)。以弦乘 矢而半之，則為黃冪，矢自乘而半之，則為二青冪。青、黃相連為弧體，弧體法 當(dāng)應(yīng)規(guī)。今觚面不至外畔，失之于少矣。圓田舊術(shù)以周三徑一為率，俱得十二觚 之冪，亦失之于少也，與此相似。指驗(yàn)半圓之冪耳。若不滿(mǎn)半圓者，益復(fù)疏闊。
宜句股鋸圓材之術(shù)，以弧弦為鋸道長(zhǎng)，以矢為鋸深，而求其徑。既知圓徑，則弧 可割分也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股。以減半徑，其余即小弦之矢也。割 之又割，使至極細(xì)。但舉弦、矢相乘之?dāng)?shù)，則必近密率矣。然于算數(shù)差繁，必欲 有所尋究也。若但度田，取其大數(shù)，舊術(shù)為約耳?！?今有環(huán)田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。
〔此欲令與周三徑一之率相應(yīng)，故言徑五步也。據(jù)中、外周，以徽術(shù)言之， 當(dāng)徑四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳風(fēng)等按：依密率，合徑四步二十二分步之十七?！?問(wèn)為田幾何？答曰：二畝五十五步。
〔于徽術(shù)，當(dāng)為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。
淳風(fēng)等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五?！?術(shù)曰：并中、外周而半之，以徑乘之，為積步。
〔此田截而中之周則為長(zhǎng)。并而半之知，亦以盈補(bǔ)虛也。此可令中、外周各 自為圓田，以中圓減外圓，余則環(huán)實(shí)也?！?又有環(huán)田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十 二步三分步之二。
〔此田環(huán)而不通匝，故徑十二步三分步之二。若據(jù)上周求徑者，此徑失之于 多，過(guò)周三徑一之率，蓋為疏矣。于徽術(shù)，當(dāng)徑八步六百二十八分步之五十一。
淳風(fēng)等按：依周三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一。依密率，合徑 八步一百七十六分步之一十三?！?問(wèn)為田幾何？答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
〔于徽術(shù)，當(dāng)為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。
淳風(fēng)等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也?！?術(shù)曰：置中、外周步數(shù)，分母子各居其下。母互乘子，通全步內(nèi)分子。以中 周減外周，余半之，以益中周。徑亦通分內(nèi)子，以乘周為實(shí)。分母相乘為法。除 之為積步。余，積步之分。以畝法除之，即畝數(shù)也。
〔按：此術(shù)，并中、外周步數(shù)于上，分母子于下，母互乘子者，為中外周俱 有余分，故以互乘齊其子，母相乘同其母。子齊母同，故通全步，內(nèi)分子。半之 知，以盈補(bǔ)虛，得中平之周。周則為從，徑則為廣，故廣從相乘而得其積。既合 分母，還須分母出之。故令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。不盡，以等數(shù) 除之而命分。以畝法除積步，得畝數(shù)也?！?